Soit une méthode algorithmique M, définie comme composée de tous les groupes de méthodes connues M1, M2, M3, …, Mn et permettant de déterminer si des suites (Un) quelconques, convergent ou non, en donnant pour résultat M(U) = respectivement 1 ou 0

Soit G la suite de nombres dont les termes sont algorithmiquement définis comme suit:

1°) k = 0 ; G0 = 0
2°) Gk+1 = Gk + M(G)
3°) Ajouter 1 à k et retour en 2°)

Qu’en est-il de M(G) ?

Si M estime que G converge alors M(G) = 1 et les termes de G seront tous définis par Gk+1 = Gk + 1, ce qui implique que G diverge. Ce qui est contradictoire.

Si M estime que G ne converge pas alors M(G) = 0 et les termes de G seront tous définis par Gk+1 = Gk, ce qui implique que G converge. Ce qui est aussi contradictoire.

M ne peut donc aboutir à une conclusion définitive qui par construction remettrait en cause la nature même de G.

La convergence de G est donc indécidable par M

glibre_400x300Conclusion : quel que soit l’état des méthodes de résolution de convergence connues, il existe toujours des suites de nombres dont la convergence ne peut pas être déterminée par ces méthodes.